Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был, прежде всего, математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность.

Имя Эйлера дорого всему прогрессивному человечеству, которое чтит в нём одного из величайших геометров мира. В качестве члена Петербургской и Берлинской Академий наук Эйлер содействовал развитию математических наук в обеих странах и распространению в них физико-математических знаний.

Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. Но в первую очередь он был математиком.

Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков. "Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель” , — любил повторять Лаплас. И труды Эйлера с большой пользой для себя читали — точнее, изучали — и "король математиков” Карл Фридрих Гаусс, и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий.

Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений.

Всем нам знакомы понятия о точках Эйлера, прямой Эйлера и окружности Эйлера в треугольнике; о теореме Эйлера для многогранников. Один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет, называется методом ломаных Эйлера; во многих разделах математики важную роль играют Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера) . В механике при описании движения тел пользуются углами Эйлера, в гидродинамике рассматривается число Эйлера… Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер.

В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете. Но учёных теологов было в те годы больше, чем требовалось, и лишь в 1701 г. он получил официальную должность священника сиротского дома в Базеле. 19 апреля 1706 г. пастор Пауль Эйлер женился на дочери священника. А 15 апреля 1707 г. у них родился сын, названный Леонардом.

Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлёкся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого.

Аналитик, будь честен!

Иначе ночью Эквидомид-мститель

Сожмет твое горло смертельной тоской...

Луи Феррон, "Опыт мюидальной геометрии”

Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец - Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать - Жанна Казнюв и я” . Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: "Дюма, викарий” . Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне (во Франции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики нового времени.

Этот современник Д’Артаньяна почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку "де” . Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад, в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений публичности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к досужим формальным играм. На склоне лет наш герой пишет: "Так как, говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я делаю мало различия между человеком, который занимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией, и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в нее все силы...” . Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате "О сравнении кривых линий прямыми” . Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма неожиданно умирает в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы.

 Иван Георгиевич Петровский 5(18) января 1901 - 15 января 1973 Ректор Московского университета: 1951 г. – 1973 Декан механико-математического факультета МГУ: 1939 г. 1944 г.

План

Введение

Студенческие годы

Научная деятельность Петровского

Педагогическая и общественная деятельность

Работа на посту ректора МГУ

Отзывы коллег

Заключение

Используемые источники

Введение

В данном реферате мной делается попытка рассказать об одном из известнейших и талантливейших математиков XX века – Иване Георгиевиче Петровском. Я хочу осветить не только его поистине грандиозную научную деятельность, ведь Петровский – автор современной теории дифференциальных уравнений, автор многих научных работ по другим областям математики, которые пользуются авторитетом в научной среде, но и как о талантливом организаторе и общественном деятеле. Петровский с 1951-го года и до самой своей смерти в 1973-м году был ректором Московского Государственного Университета, под его руководством в МГУ начали работать десятки новых кафедр, новые факультеты. Также Петровский был замечательным педагогом и оставил после себя великолепные книги по курсам, прочитанным им на механико-математическом факультете МГУ. Исследовать жизнь и деятельность этого поистине гениального человека я и пытаюсь.

Студенческие годы

Иван Георгиевич Петровский родился 5-го января (18-го по новому стилю) 1901-го года в г. Севске Орловской губернии в купеческой семье. Дата рождения Ивана Георгиевича приводится по его автобиографии (архив отдела редких книг НБ МГУ, Ф. 22, оп. 1, ед. хр. 65, л. 5) . Интересно, что в сохранившейся метрике указывается другая дата - 6 января 1901 г. (архив МГУ, Ф. 260, оп. 1, д. 1, л. 1) . Городское реальное училище он окончил в 1917-м году с отличными отметками по всем дисциплинам, кроме двух: математики и рисования. Но (парадоксы педагогики!) рисовать он любил, любовь к искусству, живописи (среди особо любимых им художников можно назвать Рембрандта, Серова, Нестерова и других) станет в дальнейшем неотъемлемой частью его всесторонне развитой одаренной натуры, а его фундаментальные труды в области математики вообще, и в области построения общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений в частности, во многом и надолго определят характер ряда направлений современной науки. Окончив училище, Петровский едет в Москву в надежде поступить в Московский университет. Сначала он поступает на естественное отделение физико-математического факультета Московского университета, но вскоре оставляет его и возвращается в семью, переехавшую к этому времени в Елизаветград. Здесь он учится в Механико-машиностроительном институте, где проявился его интерес к математике. Как пишет сам Петровский в автобиографии, первой его математической книгой была "Теория чисел” немецкого ученого Петера Густава Дирихле. Эта книга так поразила его красотой мыслей и фактов, что навсегда повернула его в сторону математики. Также немалое влияние на Петровского произвела и книга Николая Егоровича Жуковского по теоретической механике. Вернувшись в университет в 1922-м году, он определяется на математическое отделение физико-математического факультета.

Давид Гильберт был одним из истинно великих математиков своего времени. Его труды и его вдохновляющая личность ученого оказали глубокое влияние на развитие математических наук в первой половине двадцатого века. Давид Гильберт был универсальным математиком, широта его научных исследований поражает: теория инвариантов, теория алгебраических числовых полей, основания геометрии и математики в целом, интегральные уравнения, физика. Но та роль, которую сыграл Гильберт в развитии математики заключается даже не в его трудах, а в том влиянии, которое он оказывал на своих современников, в той математической школе, которую он создал. Работы многих математиков вплоть до нашего времени несут отпечаток его мышления, во всех математических достижениях нашего времени есть немалая заслуга Давида Гильберта.

Детство и юность.

Давид Гильберт родился 23 января 1862 года ровно в час дня в городке Велау вблизи Кенигсберга. Автобиография и семейная хроника, оставленные основателем кенигсбергской ветви семьи Гильбертов, знакомят нас с родословной Давида по отцовской линии. Уже в семнадцатом веке Гильберты были известны в Саксонии. В начале восемнадцатого столетия некто Иоганн Христиан Гильберт, начав с медика, стал преуспевающим оптовым торговцем кружевами. К несчастью, он умер, оставив своих детей совсем маленькими, а его наследство было промотано опекунами. Нужда заставила его сына Христиана Давида Гильберта пойти в ученики к цирюльнику. Служба военным цирюльником забросила его в Кенигсберг. Один из многочисленных детей Христиана Давида – Давид Фюрхтготт Леберехт был дедом Давида. Он был судьей. Его сын Отто занимал к моменту рождения Давида должность окружного судьи.

Немного известно о родословной Давида по материнской линии. Карл Эрдтман был купцом из Кенигсберга, его дочь Мария Тереза стала матерью Давида. Это была необычайная женщина – «оригинал» в немецком понимании этого слова. Она интересовалась философией, астрономией и была очарована простыми числами.

Благодаря отцу раннее обучение Давида носило отпечаток прусских черт пунктуальности, бережливости, преданности долгу, усердия, дисциплины и уважения к закону. Должность судьи в Пруссии досталась продвижением по гражданской службе. Это была удобная и надежная карьера для консервативного человека. По рассказам, судья Гильберт был довольно ограниченным человеком, со строгими взглядами на добропорядочное поведение.

Давид начал ходить в школу с восьми лет. Обычным возрастом для поступления в школу было шесть лет, и опоздание на два года указывает, что, по-видимому, первые уроки Давид получил дома, скорее всего от своей матери. Она была уже почти инвалидом и, как говорят, большую часть времени проводила в постели.

 Цилиндр-это фигура, состоящая из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Свойства:

1. Основания равны и параллельны (из опр.) .

2. Образующие равны и параллельны(из свойств параллельного переноса, по свойству параллельных плоскостей) .

Цилиндр называется прямым, если образующие перпендикулярны основанию.

В прямом цилиндре: ось=высота=образующая.

Сечения:

Осевое сечение

Боковая поверхность цилиндра:

L-длина круга L=2ПR Sбоковой поверхности=Lh h-высота след. Sб. п. =2ПRh Площадь полной поверхности цилиндра - это сумма площадей боковой поверхности двух оснований(S=ПR*R) .

Sп. п. =2ПR(R+h) .

Вписанный и описанный цилиндр: Призма называется вписанной в цилиндр, если основание её равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые рёбра являются образующими цилиндра.

Призма называется описанной около цилиндра, если основание её - это многоугольники описанные около основания цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Цилиндр  

Цилиндром называется тело, которое состоит из 2 кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соотв. точки этих кругов. Круги называются основанием цилиндра, а отрезки образующими цилиндра. Также, как и для призмы доказывается, что основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, образующие параллельны и равны.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Радиусом ц. называется радиус его основания. Высота расстояние между плоскостями оснований. Ось - прямая, проходящая через центры основан.

Сечение ц. плоскостью, проходящей через ось ц. - осевое сечение.

Теорема 19.1. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Доказательство. Пусть б - плоскость, перпендикулярная оси цилиндра. Эта плоскость || основаниям. Параллельный перенос в направлении оси ц., совмещающий плоскость б с плоскостью основания ц., совмещает сечение б. п плоскостью б с окружностью основания. Ч. Т. Д.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая п., основания которой - равные многоугольники, вписанные в основание ц. Призма называется описанной около ц., если ее основания - равные многоугольники, описанные около основания ц.

Конус К. называется тело, которое состоит из круга - основания к., точки не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину к. с точками окружности основания, называются образующими конуса. К.

 Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом "отображение".

1. Отображения, образы, композиции отображений.

Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N.

Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово "отображение" означает соответствие точкам точек.

О точке X', соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X' = f(X) . Множество точек X', соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M' = f(M) .

Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N.

Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны.

Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X' множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X' (N можно поставить в соответствие ту единственную точку X (M, образом которой при отображении f является точка X'. Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.

Неподвижной точкой отображения (называется такая точка A, что ((A) = A.

Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными.

Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X' = f(X) (N, а затем X' при отображении g перешла в точку X'' (P, то тем самым в результате X перешла в X''.

В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g.

Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f, вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.

2. Определение движения.

Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B', что |A'B'| = |AB|.

Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.

Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.

3. Общие свойства движения.

Свойство 1 (сохранение прямолинейности) .

При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) .

Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|.

При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A', B', C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|.

Билет №1.

Аксиомы планиметрии: 1. какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую и только одну.

2. из трех точек на прямой только одна лежит между двумя другими.

3. каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. на любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один.

8. каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

9. через точку не лежащую на данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии: Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

С1: какова бы ни была плоскость, существует точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С2: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости a и b имеют общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.

С3: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку С, то существует плоскость a, содержащая прямые a и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.

Теорема 15.1: через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: пусть АВ — данная прямая и С — не лежащая на ней точка. Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1) . Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость a (аксиома С3) . Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость a, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допустим, существует другая плоскость a1, проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости a и a1 пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В и С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Параллелепипед, его элементы.

Если основание призмы — параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Бывает прямой и наклонный.

Прямой параллелепипед: основание — прямоугольник. У него все грани — прямоугольники. Прямоуг. параллеп., у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоуг. параллеп. называются его линейными размерами (измерениями) . У прямоуг. параллеп. три измерения.

Теорема 19.3: диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Дано: параллелепипед АВСДА1В1С1Д1., О — точка пересечения диагоналей С1А и ВД1.

Доказательство: рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например АС1 и ВД1. Так как четырехугольники АВСД и ДД1С1С — параллелограммы с общей стороной СД, то их стороны АВ и Д1С1 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым АД1 и ВС1. Следовательно, четырехугольник ВАД1С1 — параллелограмм. Диагонали параллелепипеда АС1 и ВД1 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказываются другие диагонали. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах.

После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту.

Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".

Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых".

ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ, БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО, ПРЕДЕЛА, НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал, содержащий эту точку.

ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка.

ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (а;+) .

ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (- ;b) .

ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и - .

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство іf(х) і<.

>0 U U => іf(x) і< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т. Хо, если в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х) =А+ (х) , где (х) -бесконечно малое в окрестности т. Хо.

limf(x) =А Ф-ция f(х) называется непрерывной в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х) =f(х) + (х) , где (х) -б. м. в окр. т. Хо.

Иными словами, f(х) -непрерывна в т. Хо, если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции.