ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ, БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО, ПРЕДЕЛА, НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал, содержащий эту точку.

ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка.

ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (а;+) .

ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полубесконечный промежуток вида (- ;b) .

ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и - .

Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство іf(х) і<.

>0 U U => іf(x) і< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т. Хо, если в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х) =А+ (х) , где (х) -бесконечно малое в окрестности т. Хо.

limf(x) =А Ф-ция f(х) называется непрерывной в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х) =f(х) + (х) , где (х) -б. м. в окр. т. Хо.

Иными словами, f(х) -непрерывна в т. Хо, если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции.

ТЕОРЕМА: Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения.

Схема: 1. ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б. м.

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:

Теорема#1: Единственная константа, явл-ся б. м.

Теорема#2: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо, то их сумма тоже б. м. в этой окр.

Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр. т. Хо, если сущ.

проколотая окр. т. Хо и сущ. число М>0, такие что іf(х) і<М в каждой точке прок. окр. т. Хо.

U M>0: іf(x) і Теорема#3: Если (х) -б. м. в окр. т. Хо, то она ограничена в этой окр.

Теорема#4: О произведении б. м. на ограниченную: Если ф-ция (х) -б. м., а f(х) -ограниченная в окр. т. Хо, то (х) *f(х) -б. м. в окр. т. Хо.

Теорема#5: О промежуточной б. м.: Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и (х) < (х) < (х) - 2 в окр. т. Хо U, то (х) -б. м. в окр. т. Хо.

Две б. м. называются сравнимыми, если существует предел их отношения.

Б. м. (х) и (х) в окр. т. Хо называются одного порядка, если предел их отношений есть число не равное 0.

Две б. м. в окр. т. Хо называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.

Теорема#1: Если и -эквивалентные б. м., то их разность есть б. м. более высокого порядка, чем и чем.

Теорема#2: Если разность двух б. м. есть б. м. более высокого порядка, чем и чем, то и есть эквивалентные б. м.