Многоугольник

Общим свойством n-угольников являеться неизменность суммы их внутренних углов:

А₁ + А₂ + ... + А_n = (n - 2) * 180^o = (n - 2) * pi

С древних времен многоугольники принято классифицировать и называть соответственно степени их симметричности, правильности. Среди треугольников выделяют равнобедренные (с одной осью симметрии) и равносторонние, или правильные (с тремя осями симметрии). Четырехугольники, имеющие центр симметрии, называют параллелограммами. Конечно, такое определение эквивалентно школьному: параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) не параллельны,  именуют трапецией.

Можно доказать, что больше одного центра симметрии многоугольник иметь не может, а вот осей симметрии может быть любое число. Четырехугольники с единственной осью симметрии бывают двух видов: равнобедренные (или равнобокие) трапеции и дельтоиды (или ромбоиды). Параллелограммы, имеющие оси симметрии, подразделяют на ромбы (паралеллограммы с равными сторонами), прямоугольники (паралеллограммы с равными - прямыми - углами) и квадраты (ромбы с прямыми углами или прямоугольники с равными сторонами); осей симметрии у них 2 или 4.

При произвольном n ≥ 3 рассматривают правильные n-угольники: у них все стороны и все (внутренние) углы равны. Правильный n-угольник можно получить, разделив окружность на n равных дуг и соединив соседние точки деления. Центр этой (описанной) окружности называется центром правильного n-угольника; через него проходят n осей симметрии n-угольника.

Если при данном n ≥ 5 соединить не соседние, а следующие через m дуг точки деления окружности, где 1 < m < n/2, то проведенные n хорд образуют фигуру, которую обозначают символом {n/m}.

Еще в глубокой древности была поставлена практическая задача построения правильного n-угольника М_n с помощью циркуля и линейки. Построения М₃, М₄ и М₆ очень просты. Конечно, построение М_n  эквивалентно делению окружности на n равных дуг.  Дугу легко разделить пополам, построив биссектрису соответствующего центрального угла, поэтому по правильному k-угольнику легко построить 2k-угольник, затем 4k-угольник и, вообще, М_n при любом n = k * 2^m.